Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {3;1...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu \(\left( S \right)\).

+) Gọi \(J\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {JA}  + 2\overrightarrow {JB}  = \overrightarrow 0 \). Tìm tọa độ điểm J.

+) Khai triển biểu thức \(M{A^2} + 2M{B^2}\) bằng cách chèn điểm J.

+) Tìm GTLN của biểu thức.

Giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;0;3} \right)\), bán kính \(R = 1\).

Gọi \(J\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {JA}  + 2\overrightarrow {JB}  = \overrightarrow 0 \).

Ta có: \(\overrightarrow {JA}  = \left( {3 - a,\,\,1 - b,\,\, - 3 - c} \right);\,\,\overrightarrow {JB}  = \left( { - a;\,\, - 2 - b;\,\,3 - c} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {JA}  + 2\overrightarrow {JB}  = \left( {3 - 3a;\,\, - 3 - 3b;\,\,3 - 3c} \right) = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 1\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow J\left( {1; - 1;\;1} \right)\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}T = M{A^2} + 2M{B^2} = {\left( {\overrightarrow {MJ}  + \overrightarrow {JA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MJ}  + \overrightarrow {JB} } \right)^2}\\T = M{J^2} + 2\overrightarrow {MJ} .\overrightarrow {JA}  + J{A^2} + 2M{J^2} + 4\overrightarrow {MJ} .\overrightarrow {JB}  + 2J{B^2}\\T = 3M{J^2} + 2\overrightarrow {MJ} \underbrace {\left( {\overrightarrow {JA}  + 2\overrightarrow {JB} } \right)}_{\overrightarrow 0 } + \underbrace {J{A^2} + 2J{B^2}}_{const}\end{array}\)

Do đó \({T_{\max }} \Leftrightarrow M{J_{\max }}\).

Ta có: \(\overrightarrow {IJ}  = \left( {2; - 1; - 2} \right) \Rightarrow IJ = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}}  = 3 > R = 1 \Rightarrow J\) nằm ở phía ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\). Khi đó

\(M{J_{\max }} = IJ + R = 3 + 1 = 4\)

Vậy \({T_{\max }} = {3.4^2} + \left( {{2^2} + {2^2} + {4^2}} \right) + 2.\left( {{1^2} + {1^2} + {2^2}} \right) = 3.16 + 24 + 2.6 = 84\). 

Chọn C.