Cho hình chóp \(SABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi M là trung điểm của AC, chứng minh \(M \in \left( P \right)\).

+) Kẻ \(BN \bot SC\,\,\left( {N \in SC} \right)\), chứng minh \(N \in \left( P \right)\), từ đó xác định \(\left( P \right)\).

+) Chứng minh thiết diện là tam giác vuông, tính diện tích tam giác vuông đó.

Giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm của \(AC\) ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}BM \bot AC\\BM \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BM \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BM \bot SC\)

Trong \(\left( {SBC} \right)\) kẻ \(BN \bot SC\,\,\left( {N \in SC} \right)\) \( \Rightarrow \left( P \right) \equiv \left( {BMN} \right)\).

Ta có \(BM \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BM \bot MN \Rightarrow \Delta BMN\) vuông tại B.

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a \Rightarrow BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có \(SC \bot \left( {BMN} \right) \Rightarrow SC \bot MN\).

Xét \(\Delta CMN\) và \(\Delta CSA\) có :

\(\begin{array}{l}\angle C\,\,chung\\\angle CNM = \angle CAS = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta CMN \sim \Delta CSA\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{MN}}{{SA}} = \frac{{CM}}{{SC}} \Rightarrow MN = \frac{{SA.CM}}{{SC}} = \frac{{2a.\frac{a}{2}}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \frac{a}{{\sqrt 5 }}\end{array}\)

Vậy \({S_{\Delta BMN}} = \frac{1}{2}BM.MN = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{{\sqrt 5 }} = \frac{{{a^2}\sqrt {15} }}{{20}}\).

Chọn D.