Cho hình chữ nhật $ABCD$ có \(AB = 2,\,...

Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 2,\,\,AD = 2\sqrt 3$ và nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ . Quay $\left( P \right)$ một vòng quanh đường thẳng $BD$ . Khối tròn xoay được tạo thành có thể tích bằng:

$\dfrac{{28\pi }}{9}$

$\dfrac{{28\pi }}{3}$

$\dfrac{{56\pi }}{9}$

$\dfrac{{56\pi }}{3}$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Thể tích khối nón: $V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h$

Thể tích khối nón cụt: $V = \dfrac{{\pi h}}{3}\left( {{R^2} + {r^2} + Rr} \right)$

Giải chi tiết:

$\Delta BCD$ vuông tại C có:

$BD = \sqrt {{2^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}} = 4$ ; $CI = \dfrac{{BC.CD}}{{BD}} = \dfrac{{2\sqrt 3 .2}}{4} = \sqrt 3$ ; $IB = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = 3,\,$ $ID = 1$ .

$\Rightarrow \,IO = OD - ID = 2 - 1 = 1$ ; $\dfrac{{OM}}{{CD}} = \dfrac{{BO}}{{BC}} \Leftrightarrow \dfrac{{OM}}{2} = \dfrac{2}{{2\sqrt 3 }} \Rightarrow OM = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}$

Thể tích khối nón có đỉnh B và đáy là hình tròn tâm I bán kính IC bằng thể tích khối nón có đỉnh D và đáy là hình tròn tâm J bán kính JA bằng:

${V_1} = \dfrac{1}{3}.\pi .I{C^2}.IB = \dfrac{1}{3}.\pi .3.3 = 3\pi$

Thể tích khối nón cụt có hai đáy là hình tròn tâm I bán kính IC, hình tròn tâm O bán kính OM bằng thể tích khối nón cụt có hai đáy là hình tròn tâm J bán kính JA, hình tròn tâm O bán kính OM bằng:

${V_2} = \dfrac{{\pi .OI}}{3}\left( {I{C^2} + O{M^2} + IC.OM} \right) = \dfrac{{\pi .1}}{3}\left( {3 + \dfrac{4}{3} + \sqrt 3 .\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) = \dfrac{{19\pi }}{3}$