Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \si...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tách \(\int\limits_{}^{} {\left( {\sin x + x\ln x} \right)dx}  = \int\limits_{}^{} {\sin xdx}  + \int\limits_{}^{} {x\ln xdx} \).

+) Tính từng nguyên hàm, sử dụng bằng nguyên hàm cơ bản và phương pháp từng phần tính nguyên hàm.

Giải chi tiết:

\(\int\limits_{}^{} {\left( {\sin x + x\ln x} \right)dx}  = \int\limits_{}^{} {\sin xdx}  + \int\limits_{}^{} {x\ln xdx}  =  - \cos x + {I_1} + C\)

Xét \({I_1} = \int\limits_{}^{} {x\ln xdx} \). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{x}\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {I_1} = \ln x.\dfrac{{{x^2}}}{2} - \int\limits_{}^{} {\dfrac{{{x^2}}}{2}\dfrac{{dx}}{x}}  = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x - \dfrac{1}{2}\int\limits_{}^{} {xdx}  = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x - \dfrac{{{x^2}}}{4} + C\).

Vậy \(F\left( x \right) =  - \cos x + \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x - \dfrac{{{x^2}}}{4} + C\).

Chọn A.