Có tất cả bao nhiêu số dương \(a\) thỏa mãn đẳng t...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Biến đổi phương trình đã cho về chỉ làm xuất hiện ẩn \({\log _2}a\) (sử dụng công thức \({\log _a}c = {\log _a}b.{\log _b}c\))

- Giải phương trình và kết luận.

Giải chi tiết:

Điều kiện : \(a > 0\)

Ta có : \({\log _2}a + {\log _3}a + {\log _5}a = {\log _2}a.{\log _3}a.{\log _5}a\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}a + {\log _3}2.{\log _2}a + {\log _5}2.{\log _2}a\) \( = {\log _2}a.{\log _3}2.{\log _2}a.{\log _5}2.{\log _2}a\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}a\left( {1 + {{\log }_3}2 + {{\log }_5}2} \right) = \log _2^3a.{\log _3}2.{\log _5}2\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}a\left( {\log _2^2a.{{\log }_3}2.{{\log }_5}2 - 1 - {{\log }_3}2 - {{\log }_5}2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}a = 0\\\log _2^2a.{\log _3}2.{\log _5}2 - 1 - {\log _3}2 - {\log _5}2 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\\log _2^2a = \frac{{1 + {{\log }_3}2 + {{\log }_5}2}}{{{{\log }_3}2.{{\log }_5}2}}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\{\log _2}a = \sqrt {\frac{{1 + {{\log }_3}2 + {{\log }_5}2}}{{{{\log }_3}2.{{\log }_5}2}}}  = {t_1}\\{\log _2}a =  - \sqrt {\frac{{1 + {{\log }_3}2 + {{\log }_5}2}}{{{{\log }_3}2.{{\log }_5}2}}}  = {t_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\a = {2^{{t_1}}} > 0\\a = {2^{{t_2}}} > 0\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có \(3\) nghiệm \(a > 0\).

Chọn C.