Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn \({{\log }_...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \({{\log }_{25}}\frac{x}{2}={{\log }_{15}}y={{\log }_{9}}\frac{x+y}{4}=t\), rút x, y theo t và thay vào phương trình cuối cùng.

Chia cả hai vế cho \({{9}^{t}}\), giải phương trình và tìm ra thương \(\frac{x}{y}\), đồng nhất hệ số tìm a, b và tính tổng a + b.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\log _{25}}\frac{x}{2} = {\log _{15}}y = {\log _9}\frac{{x + y}}{4} = t\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{2} = {25^t}\\y = {15^t}\\\frac{{x + y}}{4} = {9^t}\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{{{2.25}^t} + {{15}^t}}}{4} = {9^t} \Leftrightarrow {2.25^t} + {15^t} = {4.9^t}\\ \Leftrightarrow 2{\left( {\frac{{25}}{9}} \right)^t} + {\left( {\frac{{15}}{9}} \right)^t} = 4 \Leftrightarrow 2{\left( {\frac{5}{3}} \right)^{2t}} + {\left( {\frac{5}{3}} \right)^t} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {\frac{5}{3}} \right)^t} = \frac{{ - 1 + \sqrt {33} }}{4}\\{\left( {\frac{5}{3}} \right)^t} = \frac{{ - 1 - \sqrt {33} }}{4}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{{{{2.25}^t}}}{{{{15}^t}}} = 2{\left( {\frac{5}{3}} \right)^t} = \frac{{ - 1 + \sqrt {33} }}{2} = \frac{{ - a + \sqrt b }}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 33\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 34\end{array}\)

Chọn D.