Điểm thuộc đường thẳng $d:x-y-1=0$ cách đều hai...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xác định tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số, tham số hóa điểm và sử dụng điều kiện cách đều.

+) Cho hai điểm $A\left( {{x}_{1}};\ {{y}_{1}} \right),\ \ B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\Rightarrow AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)}^{2}}}.$

Giải chi tiết:

Ta có $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2\,\,\xrightarrow{{}}\,\,{y}'=3{{x}^{2}}-6x;\,\,{y}'=0\Leftrightarrow \left[\begin{align}  x=0\,\,\Rightarrow \,\,y\left( 0 \right)=2 \\  x=2\,\,\Rightarrow \,\,y\left( 2 \right)=-\,2 \\ \end{align} \right..$

Suy ra tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $A\left( 0;2 \right),\,\,B\left( 2;-\,2 \right).$

Gọi $M\in d\Rightarrow M\left( a;a-1 \right),$ khi đó $\left\{ \begin{align}  MA=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a-3 \right)}^{2}}} \\  MB=\sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( a+1 \right)}^{2}}} \\ \end{align} \right.$ mà $M$ cách đều $A,\,\,B$

Suy ra $M{{A}^{2}}=M{{B}^{2}}$$\Leftrightarrow$${{a}^{2}}+{{\left( a-3 \right)}^{2}}={{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( a+1 \right)}^{2}}$$\Leftrightarrow$$a=1\,\,\Rightarrow \,\,M\left( 1;0 \right).$

Chọn C