Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ n...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Dựng hình bình hành \(ACBE\) khi đó \(d\left( {AC;SB} \right) = d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right)\)

+  Ta xác định hình chiếu \(H\) của \(A\) lên \(\left( {SBE} \right)\), khi đó \(d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right) = AH\)

+ Tính \(AH\) theo hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Giải chi tiết:

Dựng hình bình hành \(ACBE \Rightarrow AC//BE \Rightarrow AC//\left( {SBE} \right)\) nên \(d\left( {AC,SB} \right) = d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right)\)

+ Trong \(\left( {ABE} \right)\) kẻ \(AK \bot BE\) , lại có \(BE \bot SA\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\)  nên \(BE \bot \left( {SAK} \right)\)

+ Trong \(\left( {SAK} \right)\) kẻ \(AH \bot SK\) tại \(H\) . Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SK\\AH \bot BE\,\left( {do\,BE \bot \left( {SAK} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBE} \right)\) tại \(H\)

Suy ra \(d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right) = AH.\)

+ Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AB \bot AD \Rightarrow AB \bot AE\) . Xét tam giác vuông \(AEB\) có

\(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}}\)  mà \(AE = BC = 2a\, \Rightarrow \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{B{C^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}}\)

+ Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AK.\) Xét tam giác vuông \(SAK\) có

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{5}{{4{a^2}}} = \frac{9}{{4{a^2}}}\) \( \Rightarrow AH = \frac{{2a}}{3}\)

Vậy \(d\left( {AC;SB} \right) = \frac{{2a}}{3}.\)

Chọn B.