Cho \(\int\limits_{1}^{e}{\left(...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tích phân từng phần.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\int\limits_{1}^{e}{\left( 2+x\ln x \right)dx}=\int\limits_{1}^{e}{2dx}+\int\limits_{1}^{e}{x\ln xdx}=\left. 2x \right|_{1}^{e}+{{I}_{1}}=2e-2+{{I}_{1}}.\)

Tính: \({{I}_{1}}=\int\limits_{1}^{e}{x\ln xdx.}\)

Đặt 

\(\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln x\\
dv = xdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{1}{x}dx\\
v = \frac{{{x^2}}}{2}
\end{array} \right..\)

\(\begin{align}  & \Rightarrow {{I}_{1}}=\left. \frac{{{x}^{2}}}{2}\ln x \right|_{1}^{e}-\int\limits_{1}^{e}{\frac{1}{x}.\frac{{{x}^{2}}}{2}dx}=\frac{{{e}^{2}}}{2}-\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{e}{xdx}=\frac{{{e}^{2}}}{2}\left. -\frac{1}{2}\frac{{{x}^{2}}}{2} \right|_{1}^{e}=\frac{{{e}^{2}}}{2}-\frac{{{e}^{2}}}{4}+\frac{1}{4}=\frac{{{e}^{2}}}{4}+\frac{1}{4}. \\ & \Rightarrow I=2e-2+\frac{{{e}^{2}}}{4}+\frac{1}{4}=\frac{{{e}^{2}}}{4}+2e-\frac{7}{4}. \\ & \Rightarrow a=\frac{1}{4},\ b=2,\ c=-\frac{7}{4} \\ & \Rightarrow a-b=c. \\\end{align}\)

Chọn C.