Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\(H\) là trực tâm tam giác \(ABC \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}H \in \left( {ABC} \right)\\\overrightarrow {HA} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {HB} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.\).

Giải chi tiết:

Giả sử \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right),\,\,\left( {a,b,c \ne 0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( P \right):\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\\\overrightarrow {HA}  = \left( {a - 1; - 2; - 3} \right);\,\overrightarrow {HB}  = \left( { - 1;b - 2; - 3} \right)\\\overrightarrow {CB}  = \left( {0;b; - c} \right);\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( { - a;0;c} \right)\end{array} \right.\)

\(H\) là trực tâm tam giác \(ABC \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}H \in \left( P \right)\\\overrightarrow {HA} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {HB} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} = 1\\\left( {a - 1} \right).0 - 2.b - 3.\left( { - c} \right) = 0\\ - 1.\left( { - a} \right) + \left( {b - 2} \right).0 - 3.c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} = 1\\b = \dfrac{3}{2}c\\a = 3c\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{3c}} + \dfrac{2}{{\dfrac{3}{2}c}} + \dfrac{3}{c} = 1\\b = \dfrac{3}{2}c\\a = 3c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{14}}{{3c}} = 1\\b = \dfrac{3}{2}c\\a = 3c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 14\\b = 7\\c = \dfrac{{14}}{3}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( P \right):\dfrac{x}{{14}} + \dfrac{y}{7} + \dfrac{z}{{\dfrac{{14}}{3}}} = 1 \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 14 = 0.\end{array}\)

Chọn: A