Cho \(a,\,b,\,c\)  dương thỏa mãn: \(ab + bc + ca...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Sử dụng giả thiết \(ab + ac + bc = 1\) để thay vào từng căn thức của mẫu số, ta được nhân tử  \(\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\) sau đó sử dụng BĐT Cô-si.

- Chú ý chọn điểm rơi để đánh giá Cô Si vế âm ở \(P.\)

Giải chi tiết:

Theo đề bài ta có : \(ab + bc + ca = 1.\)

Áp dụng BĐT Cô-si và biểu thức bài cho ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{2a}}{{\sqrt {1 + {a^2}} }} = \frac{{2a}}{{\sqrt {ab + ac + bc + {a^2}} }} = \frac{{2a}}{{\sqrt {(a + b)(a + c)} }} \le \frac{a}{{a + b}} + \frac{a}{{a + c}}\\\frac{b}{{\sqrt {{b^2} + 1} }} = \frac{b}{{\sqrt {{b^2} + ab + ac + bc} }} = \frac{b}{{\sqrt {(b + c)(b + a)} }} \le \frac{b}{{4(b + c)}} + \frac{b}{{a + b}}\\\frac{c}{{\sqrt {{c^2} + 1} }} = \frac{c}{{\sqrt {{c^2} + ab + ac + bc} }} = \frac{c}{{\sqrt {(a + c)(c + b)} }} \le \frac{c}{{4(b + c)}} + \frac{c}{{a + c}}\end{array}\)

Cộng vế với vế ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{{2a}}{{\sqrt {1 + {a^2}} }} + \frac{b}{{\sqrt {{b^2} + 1} }} + \frac{c}{{\sqrt {{c^2} + 1} }} \le \frac{a}{{a + b}} + \frac{a}{{a + c}} + \frac{b}{{4(b + c)}} + \frac{b}{{a + b}} + \frac{c}{{4(b + c)}} + \frac{c}{{a + c}}\\ = \frac{{a + b}}{{a + b}} + \frac{{a + c}}{{a + c}} + \frac{{b + c}}{{4(b + c)}} = 1 + 1 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}.\end{array}\)

Mặt khác:

\(\begin{array}{l}\frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{49{b^2}}}{2} \ge 2\sqrt {\frac{{{a^2}.49{b^2}}}{4}}  = 7ab.\\\frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{49{c^2}}}{2} \ge 2\sqrt {\frac{{{a^2}.49{c^2}}}{4}}  = 7ac.\\\frac{7}{2}\left( {{b^2} + {c^2}} \right) \ge 7bc\\ \Rightarrow {a^2} + 28{b^2} + 28{c^2} \ge 7\left( {ab + ac + bc} \right) = 7\\ \Rightarrow P \le \frac{9}{4} - 7 =  - \frac{{19}}{4}.\end{array}\)

Dầu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7b = 7c\\ab + bc + ca = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{7\sqrt {15} }}{{15}}\\b = c = \frac{{\sqrt {15} }}{{15}}\end{array} \right..\)

Vậy \(Max\,\,P =  - \frac{{19}}{4}\) khi  \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{7\sqrt {15} }}{{15}}\\b = c = \frac{{\sqrt {15} }}{{15}}\end{array} \right..\)

Chọn B.