Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy ABC

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức Côsin: \({{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cos A\)

Giải chi tiết:

Dựng hình bình hành ABCD (tâm I). Khi đó, A’B’CD là hình bình hành (do \(\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\))

\(\Rightarrow A'D//B'C\Rightarrow \left( \widehat{A'B;B'C} \right)=\left( \widehat{A'B;A'D} \right)\)

 Tam giác ABC vuông tại A

 \(\begin{align}  \Rightarrow BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}} \\  =2a \\ \end{align}\)

H là trung điểm của BC \(\Rightarrow HB=HC=a\)

Tam giác A’BH vuông tại H \(\Rightarrow A'B=\sqrt{A'{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=2a\)

Tam giác ABC vuông tại A \(\Rightarrow \cos \widehat{ABC}=\frac{AB}{BC}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}\)

ABCD là hình bình hành \(\Rightarrow AB//CD\Rightarrow \widehat{DCB}={{180}^{0}}-\widehat{ABC}\Rightarrow \cos \widehat{DCB}=-\cos \widehat{ABC}=-\frac{1}{2}\)

Tam giác BCD: \(BD=\sqrt{B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}-2BC.CD.\cos \widehat{DCB}}=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}+{{a}^{2}}-2.2a.a.\frac{-1}{2}}=a\sqrt{7}\)

Tam giác CDH: \(HD=\sqrt{C{{H}^{2}}+C{{D}^{2}}-2CH.CD.\cos \widehat{DCB}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}-2a.a.\frac{-1}{2}}=a\sqrt{3}\)

Tam giác A’DH vuông tại H: \(A'D=\sqrt{A'{{H}^{2}}+H{{D}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}=a\sqrt{6}\)

Tam giác A’BH:  \(\cos \widehat{BA'D}=\frac{A'{{D}^{2}}+A'{{B}^{2}}-B{{D}^{2}}}{2A'D.A'B}=\frac{{{\left( a\sqrt{6} \right)}^{2}}+{{(2a)}^{2}}-{{\left( \sqrt{7}a \right)}^{2}}}{2.a\sqrt{6}.2a}=\frac{3}{4\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{8}\) .

Chọn: B