Tích phân \(\int\limits_{0}^{\pi }{\left( 3x+2 \ri...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức hạ bậc \({{\cos }^{2}}x=\frac{1+\cos 2x}{2}\) và sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần.

Giải chi tiết:

\(\int\limits_{0}^{\pi }{\left( 3x+2 \right){{\cos }^{2}}xdx}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\pi }{\left( 3x+2 \right)\left( 1+\cos 2x \right)dx}=\frac{1}{2}\left[ \int\limits_{0}^{\pi }{\left( 3x+2 \right)dx}+\int\limits_{0}^{\pi }{\left( 3x+2 \right)\cos 2xdx} \right]=\frac{1}{2}\left( {{I}_{1}}+{{I}_{2}} \right)\)

Tính \({{I}_{1}}?\)

\({{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{\pi }{\left( 3x+2 \right)dx}=\left. \left( \frac{3{{x}^{2}}}{2}+2x \right) \right|_{0}^{\pi }=\frac{3}{2}{{\pi }^{2}}+2\pi \)

Tính \({{I}_{2}}?\)

\({{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{\pi }{\left( 3x+2 \right)\cos 2xdx}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 3x + 2\\dv = \cos 2xdx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 3dx\\v = \frac{1}{2}\sin 2x\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {I_2} = \left. {\frac{1}{2}\left( {3x + 2} \right)\sin 2x} \right|_0^\pi  - \frac{3}{2}\int\limits_0^\pi  {\sin 2xdx} \\ = \left. {\frac{1}{2}\left( {3x + 2} \right)\sin 2x} \right|_0^\pi  + \frac{3}{4}\left. {\cos 2x} \right|_0^\pi \\ = \frac{3}{4}\left( {1 - 1} \right) = 0\end{array}\) 

Vậy \(I=\frac{1}{2}\left( \frac{3}{2}{{\pi }^{2}}+2\pi  \right)=\frac{3}{4}{{\pi }^{2}}+\pi \)

Chọn D.