Cho phương trình \(\sin x\left( 2-\cos 2x \right)...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp hàm đại diện để đưa về phương trình cơ bản và cô lập tham số m, khảo sát hàm số để biện luận nghiệm phương trình trên khoảng 

Giải chi tiết:

 Đặt \(a=\sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m+2}\ge 0\Leftrightarrow 2{{\cos }^{3}}x+m+1={{a}^{2}}-1.\)

Khi đó phương trình trở thành: \(\sin x\left( 2-\cos 2x \right)-2\left( {{a}^{2}}-1 \right)a=3a\Leftrightarrow \,\,\sin x\left( 1+2{{\sin }^{2}}x \right)=2{{a}^{3}}+a\Leftrightarrow \,\,2{{\sin }^{3}}x+\sin x=2{{a}^{3}}+a.\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)=2{{t}^{3}}+t\) trên \(\left( -\,\infty ;+\,\infty \right),\) có \({f}'\left( t \right)=6{{t}^{2}}+1>0;\,\,\forall t\in \mathbb{R}.\)

Suy ra \(f\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left( -\,\infty ;+\,\infty \right)\) mà \(f\left( \sin x \right)=f\left( a \right)\Leftrightarrow \,\,\sin x=a\) \(\Leftrightarrow \,\,\sin x=\sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m+2}\Leftrightarrow \,\,{{\sin }^{2}}x=2{{\cos }^{3}}x+m+2\Leftrightarrow \,\,m=-\,2{{\cos }^{3}}x+{{\cos }^{2}}x-1\) \(\left( * \right).\)

Đặt \(u=\cos x,\) với \(x\in \left[ 0;\frac{2\pi }{3} \right)\Rightarrow \,\,u\in \left( -\frac{1}{2};1 \right],\) khi đó \(\left( * \right)\Leftrightarrow \,\,m=f\left( u \right)=-\,2{{u}^{3}}-{{u}^{2}}-1.\)

Xét hàm số \(f\left( u \right)=-\,2{{u}^{3}}-{{u}^{2}}-1\) trên \(\left( -\frac{1}{2};1 \right],\) có \({f}'\left( u \right)=-\,6{{u}^{2}}-2u=0\Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{align} & u=0 \\ & u=-\frac{1}{3} \\ \end{align} \right..\)

Lập bảng biến thiên, suy ra để \(m=f\left( u \right)\) có nghiệm thuộc \(\left( -\frac{1}{2};1 \right]\Leftrightarrow \,\,\)\(-\frac{28}{27}\le m\le -\,4.\)

Kết hợp điều kiện \(m\in \mathbb{Z}\,\,\xrightarrow{{}}\,\,m=\left\{ -\,1;-\,2;-\,3;-\,4 \right\}\) là giá trị cần tìm.

Chọn C