Giá trị cực tiểu của hàm số \(y={{e}^{x}}\left( {{...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x={{x}_{0}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & y'\left( {{x}_{0}} \right)=0 \\  & y''{{x}_{0}}>0 \\ \end{align} \right..\)

+) Giải hệ phương trình tìm \({{x}_{0}}\Rightarrow \) giá trị cực tiểu của hàm số là \(y=y\left( {{x}_{0}} \right).\)

Giải chi tiết:

Ta có: \(y'={{e}^{x}}\left( {{x}^{2}}-3 \right)+2x{{e}^{x}}\Rightarrow y''={{e}^{x}}\left( {{x}^{2}}-3 \right)+2x{{e}^{x}}+2x{{e}^{x}}+2{{e}^{x}}={{e}^{x}}\left( {{x}^{2}}+4x-1 \right).\)

Hàm số đạt cực tiểu tại 

\(x = {x_0} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y'\left( {{x_0}} \right) = 0\\
y''{x_0} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{e^x}\left( {{x^2} - 3} \right) + 2x{e^x} = 0\\
{e^x}\left( {{x^2} + 4x - 1} \right) > 0
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 2x - 3 = 0\\
{x^2} + 4x - 1 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = - 3
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x > - 2 + \sqrt 5 \\
x < - 2 - \sqrt 5
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1.\)

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\Rightarrow y\left( 1 \right)={{e}^{1}}\left( 1-3 \right)=-2e.\)

Chọn D.