Biết rằng đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x +...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện của \(m\) để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị.

+) Gọi điểm cực trị thuộc đường thẳng \(y = x - 1\) là \(A\left( {{x_0};{x_0} - 1} \right)\), khi đó \(y'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và \({x_0} - 1 = y\left( {{x_0}} \right)\), giải hệ phương trình tìm \({x_0},m\)

+) Thay ngược lại \(m\) vào phương trình \(y' = 0\), giải phương trình tìm nghiệm còn lại.

Giải chi tiết:

TXĐ : \(x \ne m\)

\(\begin{array}{l}y' = \frac{{\left( {2x - 3} \right)\left( {x - m} \right) - \left( {{x^2} - 3x + m - 3} \right)}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\\y' = \frac{{2{x^2} - 2mx - 3x + 3m - {x^2} + 3x - m + 3}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\\y' = \frac{{{x^2} - 2mx + 2m + 3}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 2m + 3 = 0\end{array}\)

Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x \ne m\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - 2m - 3 > 0\\{m^2} - 2{m^2} + 2m + 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 3\\m <  - 1\end{array} \right.\)

Gọi điểm cực trị thuộc đường thẳng \(y = x - 1\) là \(A\left( {{x_0};{x_0} - 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_0^2 - 2m{x_0} + 2m + 3 = 0\\{x_0} - 1 = \frac{{x_0^2 - 3{x_0} + m - 3}}{{{x_0} - m}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_0^2 - 2m{x_0} + 2m + 3 = 0\\x_0^2 - m{x_0} - {x_0} + m = x_0^2 - 3{x_0} + m - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_0^2 - 2m{x_0} + 2m + 3 = 0\\{x_0}\left( { - m + 2} \right) =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_0^2 - 2m{x_0} + 2m + 3 = 0\\{x_0} = \frac{3}{{m - 2}}\,\,\left( {m \ne 2} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \frac{9}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}} - \frac{{6m}}{{m - 2}} + 2m + 3 = 0\\ \Leftrightarrow 9 - 6m\left( {m - 2} \right) + 2{m^3} - 8{m^2} + 8m + 3{m^2} - 12m + 12 = 0\\ \Leftrightarrow 2{m^3} - 11{m^2} + 8m + 21 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m = \frac{7}{2}\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\, \Rightarrow {x_0} = 2\\m = 3\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(m = \frac{7}{2}\) ta có \({x^2} - 7x + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 2\end{array} \right.\)

Chọn D.