Cho tham số thực \(a.\) Biết phương trình \({{e}^{...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Thêm bớt để VT của phương trình \({{e}^{x}}+{{e}^{-\,x}}=2\cos ax+4\) trở thành hằng đẳng thức.

Từ số nghiệm của phương trình \({{e}^{x}}-{{e}^{-\,x}}=2\cos ax\) suy ra số nghiệm của các phương trình có dạng tương tự.

Giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}
{e^x} + {e^{ - x}} = 2\cos ax + 4 \Leftrightarrow {\left( {{e^{\frac{x}{2}}}} \right)^2} + {\left( {{e^{ - \frac{x}{2}}}} \right)^2} - 2.{e^{\frac{x}{2}}}.{e^{ - \frac{x}{2}}} = 2\cos ax + 2\\
\Leftrightarrow {\left( {{e^{\frac{x}{2}}} - {e^{ - \frac{x}{2}}}} \right)^2} = 2\left( {\cos ax + 1} \right) = 2.2{\cos ^2}\frac{{ax}}{2}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{e^{\frac{x}{2}}} - {e^{ - \,\frac{x}{2}}} = 2\cos \frac{{ax}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
{e^{\frac{x}{2}}} - {e^{ - \,\frac{x}{2}}} = - \,2\cos \frac{{ax}}{2}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right..
\end{array}\)

Giả sử \({{x}_{0}}\) là nghiệm của phương trình \({{e}^{x}}-{{e}^{-\,x}}=2\cos ax\,\,\,\,\,\left( * \right),\) thì \({{x}_{0}}\ne 0\) và \(2{{x}_{0}}\) là nghiệm của \(\left( 1 \right)\) và \(-\,2{{x}_{0}}\) là nghiệm của \(\left( 2 \right)\) hoặc ngược lại.

Phương trình \(\left( * \right)\) có 5 nghiệm nên hai phương trình \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)\) có 5 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình \({{e}^{x}}+{{e}^{-\,x}}=2\cos ax+4\) có 10 nghiệm phân biệt.

Chọn C.