Giải các phương trình sau:a) \(\cos 2x - 5\sin x -...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức hạ bậc, đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

b) Sử dụng hằng đẳng thức, rút gọn, đưa phương trình về dạng tích.

Giải chi tiết:

a) \(\cos 2x - 5\sin x - 3 = 0 \Leftrightarrow 1 - 2{\sin ^2}x - 5\sin x - 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow  - 2{\sin ^2}x - 5\sin x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x =  - \frac{1}{2}\\\sin \,x =  - 2\,\,(vo\,nghiem)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \sin x =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi  - \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) + k2\pi \end{array} \right.,k \in Z \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in Z\)

Vậy, phương trình có tập nghiệm \(\left\{ { - \frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{{7\pi }}{6} + k2\pi ,k \in Z} \right\}\).

b) \(\left[ {1 + \cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)} \right]{\tan ^2}x - \cos x = 1\) (*)

ĐKXĐ: \(\cos x \ne 0\)

Phương trình \((*) \Leftrightarrow \left( {1 - \sin \,x} \right).\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} - \cos x - 1 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {1 - \sin \,x} \right).\frac{{1 - {{\cos }^2}x}}{{1 - {{\sin }^2}x}} - \cos x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - \sin \,x} \right).\frac{{\left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)}}{{\left( {1 - \sin x} \right)\left( {1 + \sin x} \right)}} - \cos x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)}}{{1 + \sin x}} - \cos x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) - \left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 + \sin x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {\left( {1 - \cos x} \right) - \left( {1 + \sin x} \right)} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( { - \cos x - \sin \,x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x =  - 1\\\sin \,x =  - \cos x\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x =  - 1\\\tan \,x =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pi  + k2\pi \\x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.,\,k \in Z\end{array}\)

Vậy, phương trình có tập nghiệm \(\left\{ {\pi  + k2\pi ; - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in Z} \right\}\).