Cho \(z \in C\) thỏa mãn \(\left( {2 + i} \right)\...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Từ giả thiết \(\left( {2 + i} \right)\left| z \right| = \frac{{\sqrt {17} }}{z} + 1 - 3i\), tìm \(\left| z \right|\).

\(w = \left( {3 - 4i} \right)z - 1 + 2i\), rút z theo w, tính môđun hai vế và suy ra tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left( {2 + i} \right)\left| z \right| = \frac{{\sqrt {17} }}{z} + 1 - 3i\\ \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right)\left| z \right| - 1 + 3i = \frac{{\sqrt {17} }}{z}\\ \Leftrightarrow \left( {2\left| z \right| - 1} \right) + \left( {\left| z \right| + 3} \right)i = \frac{{\sqrt {17} }}{z}\\ \Leftrightarrow {\left( {2\left| z \right| - 1} \right)^2} + {\left( {\left| z \right| + 3} \right)^2} = \frac{{17}}{{{{\left| z \right|}^2}}}\\ \Leftrightarrow 5{\left| z \right|^4} + 2{\left| z \right|^3} + 10{\left| z \right|^2} - 17 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\left| z \right| - 1} \right)\left( {5{{\left| z \right|}^3} + 5{{\left| z \right|}^2} + 7\left| z \right| + 17} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| z \right| = 1\\5{\left| z \right|^3} + 5{\left| z \right|^2} + 7\left| z \right| + 17 = 0\,\,\left( {vn} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Đặt \(w = x + yi\) ta có:

\(\begin{array}{l}w = \left( {3 - 4i} \right)z - 1 + 2i \Rightarrow \left( {3 - 4i} \right)z = w + 1 - 2i\\ \Leftrightarrow 5\left| z \right| = \left| {w + 1 - 2i} \right| = 5\end{array}\)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức \(w = \left( {3 - 4i} \right)z - 1 + 2i\) là đường tròn tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\), bán kính \(R = 5\).

Chọn D.