Cho hàm số \(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+m\) có đồ thị...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Ba nghiệm của phương trình \({{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+m=0\) lập thành 1 CSC.

+) Sử dụng định lí Vi-et phương trình bậc ba.

Giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \({{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+m=0\,\,\left( 1 \right)\).

Vì đồ thị \(\left( C \right)\) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho B là trung điểm của AC nên phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt lập thành 1 CSC. Gọi 3 nghiệm đó lần lượt là \({{x}_{0}}-d;\,\,{{x}_{0}};\,\,{{x}_{0}}+d\,\,\left( d\ne 0 \right)\).

Theo định lí Vi-et có \({{x}_{0}}-d+{{x}_{0}}+{{x}_{0}}+d=\frac{-b}{a}=-3\Leftrightarrow 3{{x}_{0}}=-3\Leftrightarrow {{x}_{0}}=-1\) là 1 nghiệm của phương trình (1).

\(\Rightarrow {{\left( -1 \right)}^{3}}+3.{{\left( -1 \right)}^{2}}+m=0\Leftrightarrow 2+m=0\Leftrightarrow m=-2\Rightarrow m\in \left( -4;0 \right)\).

Chọn C.