Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\(\int{{{f}^{n}}(x).f'(x)dx=\frac{{{f}^{n+1}}(x)}{n+1}}+C,\,\,n\ne -1\)

Giải chi tiết:

Ta có: \(\int\limits_{0}^{1}{\left[ f'(x).{{\left[ f(x) \right]}^{2}}+1 \right]dx}=2\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{f'(x)}.f(x)dx}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{\left[ f'(x).{{\left[ f(x) \right]}^{2}}-2\sqrt{f'(x)}.f(x)+1 \right]dx}=0\)

\(\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left[ \sqrt{f'(x)}.f(x)-1 \right]}^{2}}dx}=0\Rightarrow \sqrt{f'(x)}.f(x)-1=0\Rightarrow {{f}^{2}}(x).f'(x)=1\), \(\forall x\in \left[ 0;1 \right]\)

(do \(f(x)\) và \(f'(x)\) đều nhận giá trị dương trên đoạn \(\left[ 0;1 \right]\))

\(\Rightarrow \int\limits_{0}^{x}{{{f}^{2}}(x).f'(x)dx}=\int\limits_{0}^{x}{1dx}\Rightarrow \left. \frac{{{f}^{3}}(x)}{3} \right|_{0}^{x}=x\Rightarrow \frac{{{f}^{3}}(x)}{3}-\frac{{{f}^{3}}(0)}{3}=x\)

Mà \(f(0)=2\Rightarrow {{f}^{3}}(x)=3x+8\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f(x) \right]}^{3}}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 3x+8 \right)dx=\frac{1}{3}.\left. \frac{{{(3x+8)}^{2}}}{2} \right|_{0}^{1}}=\frac{1}{3}\left( \frac{121}{2}-2 \right)=\frac{1}{3}.\frac{117}{2}=\frac{19}{2}\)

Chọn: D