Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy \(ABCD\) là hình ch...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Gọi a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng (P).

Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng a và a’.

Giải chi tiết:

ABCD là hình chữ nhật

\(\Rightarrow AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{(2a)}^{2}}}=a\sqrt{5}\)

Vì \(SA\bot \left( ABCD \right)\) nên \(\left( \widehat{SC;(ABCD)} \right)=\left( \widehat{SC;AC} \right)=\widehat{SCA}\)\(\Rightarrow \tan \widehat{SCA}=\frac{\sqrt{10}}{5}\Leftrightarrow \frac{SA}{AC}=\frac{\sqrt{10}}{5}\Leftrightarrow \frac{SA}{a\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}\Leftrightarrow SA=a\sqrt{2}\)

Ta có: \(AB//CD,\,\,CD\subset \left( SCD \right)\Rightarrow d(B;(SCD))=d(A;(SCD))\)

Kẻ \(AH\bot SD,\,H\in SD\). 

Ta có: \(\left\{ \begin{align}  CD\bot SA,\,\,(do\,\,SA\bot (ABCD)) \\  CD\bot AD \\ \end{align} \right.\Rightarrow CD\bot (SAD)\Rightarrow CD\bot AH\)

Mà \(AH\bot SD\Rightarrow AH\bot (SCD)\Rightarrow d(A,(SCD))=AH\)

Tam giác SAD vuông tại A, \(AH\bot SD\Rightarrow \frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{D}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{(2a)}^{2}}}=\frac{3}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\frac{2\sqrt{3}a}{3}\)

\(\Rightarrow d(B;(SCD))=\frac{2\sqrt{3}a}{3}\).

Chọn: A