Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳn...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Công thức tính diện tích tam giác ΔABC trong hệ tọa độ Oxyz là: \({{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right] \right|\)

Giải chi tiết:

\({{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{1}\) có phương trình tham số : \(\left\{ \begin{align}  x=1+2{{t}_{1}} \\  y=-{{t}_{1}} \\  z=-2+{{t}_{1}} \\ \end{align} \right.\), có 1 VTCP \(\overrightarrow{{{u}_{1}}}\left( 2;-1;1 \right)\).

\({{d}_{2}}:\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{7}=\frac{z-3}{-1}\) có phương trình tham số : \(\left\{ \begin{align}  x=-1+{{t}_{2}} \\  y=1+7{{t}_{2}} \\  z=3-{{t}_{2}} \\ \end{align} \right.\), có 1 VTCP \(\overrightarrow{{{u}_{1}}}\left( 1;7;-1 \right)\).

\(A\in {{d}_{1}},\,\,B\in {{d}_{2}}\Rightarrow \) Gọi \(A(1+2{{t}_{1}};-{{t}_{1}};-2+{{t}_{1}}),\,\,B(-1+{{t}_{2}};1+7{{t}_{2}};3-{{t}_{2}})\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( {{t}_{2}}-2{{t}_{1}}-2;7{{t}_{2}}+{{t}_{1}}+1;\,-{{t}_{2}}-{{t}_{1}}+5 \right)\)

AB là đường vuông góc chung của \({{d}_{1}},\,\,{{d}_{2}}\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0 \\  \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0 \\ \end{align} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2({t_2} - 2{t_1} - 2) - 1(7{t_2} + {t_1} + 1) + 1( - {t_2} - {t_1} + 5) = 0\\1({t_2} - 2{t_1} - 2) + 7(7{t_2} + {t_1} + 1) - 1( - {t_2} - {t_1} + 5) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6{t_2} - 6{t_1} = 0\\51{t_2} + 6{t_1} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {t_1} = {t_2} = 0\)

\(\Rightarrow A(1;0;-2),\,\,B(-1;1;3)\Rightarrow \overrightarrow{OA}=(1;0;-2),\,\,\overrightarrow{OB}=(-1;1;3)\)

Diện tích tam giác OAB: \({{S}_{OAB}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} \right] \right|=\frac{1}{2}\left| \left( 2;-1;1 \right) \right|=\frac{\sqrt{6}}{2}\)\(\)

Chọn: B