Cho ba tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc v...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Giải chi tiết:

Đặt \(A\left( x;0;0 \right),\,\,B\left( 0;y;0 \right),\,\,\left( x,y>0 \right)\)

Vì \(OA+OB=OC=1\Rightarrow x+y=1\)

Gọi J, F lần lượt là trung điểm AB, OC. Kẻ đường thẳng qua F song song OJ, đường thẳng qua J song song OC, 2 đường thẳng này cắt nhau tại G.

\(\Delta OAB\) vuông tại O \(\Rightarrow J\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

\(GJ//OC\Rightarrow GJ\bot (OAB)\Rightarrow GO=GA=GB\)

\(GF//JO,\,\,JO\bot OC\Rightarrow GF\bot OC\), mà F là trung điểm của OC

\(\Rightarrow GF\) là đường trung trực của OC \(\Rightarrow GC=GO\)

\(\Rightarrow GO=GA=GB=GC\Rightarrow G\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC : \(R=OG=FJ=\sqrt{O{{F}^{2}}+O{{J}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+O{{J}^{2}}}\)

Ta có: \(OJ=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}{2}\ge \frac{\sqrt{\frac{{{(x+y)}^{2}}}{2}}}{2}=\frac{\sqrt{\frac{{{1}^{2}}}{2}}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}\) \(\Rightarrow R\ge \sqrt{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\sqrt{2}}{4} \right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{3}{8}}\Rightarrow {{R}_{\min }}=\sqrt{\frac{3}{8}}=\frac{\sqrt{6}}{4}\)

Chọn: C