Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chia nhỏ miền để tính thể tích của khối tròn xoay

Giải chi tiết:

Cách 1. Cung tròn khi quay quanh \(Ox\) tạo thành một khối cầu có thể tích \(V=\frac{4}{3}\pi {{\left( \sqrt{6} \right)}^{3}}=8\pi \sqrt{6}\).

Thể tích nửa khối cầu là \({{V}_{1}}=4\pi \sqrt{6}\). Xét phương trình:

\(\sqrt x = \sqrt {6 - {x^2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
{x^2} + x - 6 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
\left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = - 3
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2.\)

Thể tích khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y=\sqrt{x}\), cung tròn có phương trình \(y=\sqrt{6-{{x}^{2}}}\), và hai đường thẳng \(x=0,\,\,x=2\) quanh \(Ox\) là:

\({{V}_{2}}=\pi \int\limits_{0}^{2}{\left( 6-{{x}^{2}}-x \right)\text{d}x}=\left. \pi \left( 6x-\frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{{{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{0}^{2}=\frac{22\pi }{3}.\).

Vậy thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là \(V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=4\pi \sqrt{6}+\frac{22\pi }{3}\).

Cách 2. Cung tròn khi quay quanh \(Ox\) tạo thành một khối cầu có thể tích \({V_1} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\sqrt 6 } \right)^3} = 8\pi \sqrt 6 \).

Xét phương trình: 

\(\sqrt x = \sqrt {6 - {x^2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
{x^2} + x - 6 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
\left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = - 3
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2.\)

Thể tích khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y=\sqrt{x}\), cung tròn có phương trình \(y = \sqrt {6 - {x^2}} \) và đường thẳng \(y=0\) quanh \(Ox\) là

\({{V}_{2}}=\pi \int\limits_{0}^{2}{x\text{d}x}+\pi \int\limits_{2}^{\sqrt{6}}{\left( 6-{{x}^{2}} \right)\text{d}x}=\left. \frac{\pi {{x}^{2}}}{2} \right|_{0}^{2}+\left. \pi \left( 6x-\frac{{{x}^{3}}}{3} \right) \right|_{2}^{\sqrt{6}}=2\pi +\frac{12\sqrt{6}-28}{3}\pi =4\pi \sqrt{6}-\frac{22\pi }{3}.\)

Vậy thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là \(V = {V_1} - {V_2} = 8\pi \sqrt 6  - \left( {4\pi \sqrt 6 - \frac{{22\pi }}{3}} \right) = 4\sqrt 6 \pi + \frac{{22\pi }}{3}.\)

Chọn D