Biết \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{{{x}...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Nhân cả tử và mẫu với \(\cos x\) , sau đó sử dụng phương pháp tích phân từng phần.

Giải chi tiết:

\(\begin{align}  \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{{{x}^{2}}dx}{{{(x\sin x+\cos x)}^{2}}}=}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{x}{\cos x}.\frac{x\cos x\,dx}{{{(x\sin x+\cos x)}^{2}}}} \\  =\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{x}{\cos x}.\frac{\,d(x\sin x+\cos x)}{{{(x\sin x+\cos x)}^{2}}}=}-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{x}{\cos x}d\left( \frac{1}{x\sin x+\cos x} \right)} \\  =-\frac{x}{\cos x}.\left. \frac{1}{x\sin x+\cos x} \right|_{0}^{\frac{\pi }{3}}+\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{1}{x\sin x+\cos x}d\left( \frac{x}{\cos x} \right)} \\  =-\left. \frac{x}{\cos x\left( x\sin x+\cos x \right)} \right|_{0}^{\frac{\pi }{3}}+\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx} \\  =-\left. \frac{x}{\cos x\left( x\sin x+\cos x \right)} \right|_{0}^{\frac{\pi }{3}}+\tan \,\left. x \right|_{0}^{\frac{\pi }{3}} \\  =-\frac{\frac{\pi }{3}}{\frac{1}{2}.\left( \frac{\pi }{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \right)}+\sqrt{3} \\  =-\frac{4\pi }{\pi \sqrt{3}+3}+\sqrt{3}=-\frac{a\pi }{b+c\pi \sqrt{3}}+d\sqrt{3},\,\,\left( a,b,c,d\in {{Z}^{+}} \right) \\  \Rightarrow a=4,\,\,b=3,\,\,c=1,\,\,d=1 \\  \Rightarrow a+b+c+d=9 \\ \end{align}\)

Chọn: A