Cho tam giác ABC đều cạnh a và n...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Thể tích của khối tròn xoay sinh khi cho phần tô đậm (hình vẽ) quay quanh đường thẳng AD bằng thể tích hình cầu đường kính AD trừ đi thể tích hình nón tạo bởi khi quay tam giác ABC quanh trục AD.

Giải chi tiết:

*) Tính thể tích hình cầu đường kính AD:

Tam giác ABC đều, cạnh a \(\Rightarrow OA=\frac{2}{3}AH=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

\({{V}_{cau}}=\frac{4}{3}\pi .O{{A}^{3}}=\frac{4}{3}\pi .{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{3}}=\frac{4\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{27}\)

*) TÍnh thể tích hình nón (H) tạo bởi khi quay tam giác ABC quanh trục AH:

 Hình nón (H) có đường cao \(AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\), bán kính đáy \(HB=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}\)

\({{V}_{non}}=\frac{1}{3}{{S}_{day}}.h=\frac{1}{3}.\pi .H{{B}^{2}}.AH=\frac{1}{3}\pi .{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}\)

*) Tính V.

\(V={{V}_{cau}}-{{V}_{non}}=\frac{4\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{27}-\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}=\frac{23\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{216}\) .

Chọn: C