Biết rằng \(\int\limits_{1}^{e}{x\ln xdx}=a{{e}^{2...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Công thức từng phần : \(\int\limits_{a}^{b}{udv}=\left. uv \right|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}{vdu}\)

Giải chi tiết:

Đặt  \(\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln x\\
dv = xdx
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{{dx}}{x}\\
v = \frac{{{x^2}}}{2}
\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow I=\left. \frac{{{x}^{2}}}{2}.\ln x \right|_{1}^{e}-\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{e}{xdx}=\left. \frac{{{x}^{2}}}{2}.\ln x \right|_{1}^{e}-\left. \frac{{{x}^{2}}}{4} \right|_{1}^{e}=\frac{{{e}^{2}}}{2}-\left( \frac{{{e}^{2}}}{4}-\frac{1}{4} \right)=\frac{{{e}^{2}}+1}{4}\)

\(\Rightarrow a=b=\frac{1}{4}\Rightarrow a+b=\frac{1}{2}\)

Chọn: D