Cho \(x,y\) là các số thực thay đổi nhưng luôn thỏ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}P = 8{x^4} + \dfrac{1}{2}\left( {{y^4} - 2xy} \right) \Leftrightarrow P = \dfrac{{16{x^4} + {y^4} - 2xy}}{2}\\ \Rightarrow P = \dfrac{{{{\left( {4{x^2}} \right)}^2} - 2.4{x^2}.{y^2} + {{\left( {{y^2}} \right)}^2} + 8{x^2}{y^2} - 2xy}}{2}\\ \Rightarrow P = \dfrac{{{{\left( {4{x^2} - {y^2}} \right)}^2} + 8{x^2}{y^2} - 2xy}}{2} \ge 4{x^2}{y^2} - xy\\ \Rightarrow P \ge {\left( {2xy} \right)^2} - 2.2xy.\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{16}} - \dfrac{1}{{16}} = {\left( {2xy - \dfrac{1}{4}} \right)^2} - \dfrac{1}{{16}} \ge \dfrac{{ - 1}}{{16}}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x^2} = {y^2}\\2xy = \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}2x = y\\2x =  - y\end{array} \right.\\xy = \dfrac{1}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{x^2} = \dfrac{1}{8}\\ - 2{x^2} = \dfrac{1}{8}\,\,\left( {vo\,\,nghiem} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{4} \Rightarrow y = \dfrac{1}{2}\\x = \dfrac{{ - 1}}{4} \Rightarrow y = \dfrac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\)

Thử lại với \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}} \right)\) ta có \({\left( {x + 2y} \right)^3} + 8xy \ge 2\) thỏa mãn.

Thử lại với \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{ - 1}}{4};\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)\) ta có \({\left( {x + 2y} \right)^3} + 8xy \ge 2\) không thỏa mãn.

Vậy \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}} \right)\), khi đó \({P_{\min }} =  - \dfrac{1}{{16}}\).

Chọn D.