Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = AC,\,\,\,M\) là trung...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác.

- Tính chất của hai tam giác bằng nhau.

- Áp dụng quan hệ giữa đường thẳng vuông góc và song song.

Giải chi tiết:

a) Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta AMC\) ta có:

\(\begin{array}{l}AB = AC\,\,\,(gt)\\AM\;\;chung\\MB = MC\,\,\,(gt)\end{array}\)

Vậy \(\Delta AMB = \Delta AMC\) (c.c.c)

b) Theo phần a) ta có \(\Delta AMB = \Delta AMC\)

\( \Rightarrow \angle MAB = \angle MAC\) (hai góc tương ứng)

Xét hai tam giác vuông \(EMA\) và \(FMA\) ta có:

            \(\begin{array}{l}\angle MAB = \angle MAC\;\;\left( {cmt} \right)\\MA\;\;chung\end{array}\)

Vậy \(\Delta EMA = \Delta FMA\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra \(AE = {\rm{AF}}\) (hai cạnh tương ứng).

c) Theo chứng minh ở phần a) ta có \(\Delta AMB = \Delta AMC\) suy ra \(\angle AMB = \angle AMC\) (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí kề bù nên \(\angle AMB + \angle AMC = {180^0}\).

\( \Rightarrow \angle AMB = \angle AMC = {90^0}\,\,\, \Rightarrow AM \bot BC\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

Gọi \(N\) là giao điểm của \(AM\) và \(EF\). Xét \(\Delta ANE\) và \(\Delta ANF\) ta có:

            \(AN\) là cạnh chung

            \(  \angle NAE = \angle NAF\) (hai góc tương ứng của \(\Delta AMB = \Delta AMC\))

            \(AE = AF\) (theo chứng minh phần b)

Vậy \(\Delta ANE = \Delta ANF\) (c.g.c)

Suy ra \(\angle ANE = \angle ANF\) (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí kề bù nên \(\angle ANE + \angle ANF = {180^0}\).

\( \Rightarrow \angle ANE = \angle ANF = {90^0}\,\,\, \Rightarrow EF \bot BC\,\,\,\,\,\,\,(2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra \(EF//BC\) (đpcm).