Giá trị của \(B = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 9...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét giới hạn: \(I = \lim f\left( n \right)\,\,\,(n \in {N^*})\) . Nếu \(f\left( n \right)\) chứa n dưới dấu căn thì ta có thể nhân cả tử và mẫu với cùng một biểu thức liên hợp.

Giải chi tiết:

Ta có: \(B = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} - n} \right) = \lim \frac{{\left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} - n} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + 9{n^2}} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} + {n^2}} \right)}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + 9{n^2}} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} + {n^2}}}\)

               \(\begin{array}{l} = \lim \frac{{{n^3} + 9{n^2} - {n^3}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + 9{n^2}} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} + {n^2}}} = \lim \frac{{9{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + 9{n^2}} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} + {n^2}}}\\ = \lim \frac{9}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 + \frac{9}{n}} \right)}^2}}} + \sqrt {1 + \frac{9}{n}}  + 1}} = \frac{9}{{1 + 1 + 1}} = 3.\end{array}\)

Chọn D.