Chứng minh rằng \(\left( {{2}^{{{2}^{n}}}}-1;{{2}^...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng thuật toán Euclid .

(Bài toán Euclid : Để tìm \(\left( {a;b} \right)\) khi \(a\)  không chia hết cho \(b\) ta dùng thuật toán Euclide sau:

\(a=b.q+{{r}_{1}}\) thì \(\left( {a;b} \right) = \left( {b;{r_1}} \right)\).

\(b = {r_1}.{q_1} + {r_2}\) thì \(\left( b;{{r}_{1}} \right)=\left( {{r}_{1}};{{r}_{2}} \right)\)

\({r_{n - 2}} = {r_{n - 1}}.{q_{n - 1}} + {r_n}\) thì \(\left( {{r}_{n-2}};{{r}_{n-1}} \right)=\left( {{r}_{n-1}};{{r}_{n}} \right)\)

\({{r}_{n-1}}={{r}_{n}}.{{q}_{n}}\) thì \(\left( {{r}_{n-1}};{{r}_{n}} \right)={{r}_{n}}\)

\(\left( {a;b} \right) = {r_n}\)

\(\Rightarrow \left( a;b \right)\) là số dư cuối cùng khác 0 trong thuật toán Euclide.)

Giải chi tiết:

Gọi \(d=\left( {{2}^{{{2}^{n}}}}-1;{{2}^{{{2}^{n}}}}+1 \right)\Rightarrow d=\left( {{2}^{{{2}^{n}}}}+1;\left( {{2}^{{{2}^{n}}}}+1 \right)-\left( {{2}^{{{2}^{n}}}}-1 \right) \right)\Rightarrow d=\left( {{2}^{{{2}^{n}}}}+1;2 \right)\)

Lại có \(\left( {{2}^{{{2}^{n}}}}+1 \right)\) là số lẻ nên \(d = 1\) (đpcm).