Tìm \(\left( 6k+5;\,\,8k+3 \right)\,\,\left( k\in...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng thuật toán Euclid .

(Bài toán Euclid : Để tìm \(\left( {a;b} \right)\) khi \(a\)  không chia hết cho \(b\) ta dùng thuật toán Euclide sau:

\(a=b.q+{{r}_{1}}\) thì \(\left( {a;b} \right) = \left( {b;{r_1}} \right)\).

\(b = {r_1}.{q_1} + {r_2}\) thì \(\left( b;{{r}_{1}} \right)=\left( {{r}_{1}};{{r}_{2}} \right)\)

\({r_{n - 2}} = {r_{n - 1}}.{q_{n - 1}} + {r_n}\) thì \(\left( {{r}_{n-2}};{{r}_{n-1}} \right)=\left( {{r}_{n-1}};{{r}_{n}} \right)\)

\({{r}_{n-1}}={{r}_{n}}.{{q}_{n}}\) thì \(\left( {{r}_{n-1}};{{r}_{n}} \right)={{r}_{n}}\)

\(\left( {a;b} \right) = {r_n}\)

\(\Rightarrow \left( a;b \right)\) là số dư cuối cùng khác 0 trong thuật toán Euclide.)

Giải chi tiết:

+  Với \(k=1\) ta có: \(\left( 6k+5;\,\,8k+3 \right)=\left( 11;11 \right)=11\).   

+ Với \(k > 1\):

Áp dụng thuật toán Euclid ta có:

\(8k+3=6k+5+2k-2\) thì \(\left( 6k+5;\,\,8k+3 \right)=\left( 6k+5;\,\,2k-2 \right)\).

\(6k+5=\left( 2k-2 \right).3+11\) thì \(\left( {6k + 5;\,\,2k - 2} \right) = \left( {2k - 2;11} \right)\)

Ta thấy \(2k-2\) là số chẵn; 11 là số lẻ nên \(\left( 2k-2;11 \right)=1\)

Vậy : Với  \(k=1\) thì \(\left( {6k + 5;\,\,8k + 3} \right) = 11\).

          Với \(k > 1\) thì \(\left( 6k+5;\,\,8k+3 \right)=1\).