Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,AB>AC.\) Điểm...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh 2 tam giác đồng dạng với nhau theo trường hợp góc – góc.

b) Chứng minh cặp tam giác \(ABC\) và \(INC\) đồng dạng với nhau theo trường hợp góc – góc. Từ đó suy ra tỉ lệ thức phù hợp, biến đổi tỉ lệ thức được điều phải chứng minh.

c) Chứng minh cặp tam giác \(AIC\) và \(BNC\) đồng dạng với nhau theo trường hợp góc – góc. Từ đó suy ra cặp góc tương ứng bằng nhau.

d) Chứng minh các biểu thức bằng nhau, áp dụng tính chất bắc cầu để tìm ra biểu thức tính tổng \(S\) với các cạnh đã cho.

Giải chi tiết:

a) Ta có: \(\angle BIM = {90^0}\,\,\,\left( {IM \bot BC} \right)\)

Xét \(\Delta IBM\)và \(\Delta ABC\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle BIM = \angle BAC = {90^0}\\\angle B\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta IBM \sim \Delta ABC\;(g - g)\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

b) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta INC\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle BAC = \angle NIC = {90^0}\\\angle C\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta INC\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AC}}{{IC}} = \frac{{BC}}{{NC}} \Leftrightarrow IC.BC = AC.NC \Leftrightarrow CI.CB = CA.CN\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

c) Ta có: \(\frac{{AC}}{{IC}} = \frac{{BC}}{{NC}}\,\,\,\left( {cmt} \right) \Leftrightarrow \frac{{IC}}{{NC}} = \frac{{AC}}{{BC}}\,\,\)

Xét \(\Delta AIC\) và \(\Delta BNC\) ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{IC}}{{NC}} = \frac{{AC}}{{BC}}\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle C\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta AIC \sim \Delta BNC\;(g - g)\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle IAC = \angle NBC\) (2 góc tương ứng)

Vậy \(\angle IAC = \angle NBC.\)

d) Ta có: \(\Delta IBM \sim \Delta ABC\) (chứng minh câu a)

\( \Rightarrow \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{{IB}}{{AB}} \Leftrightarrow BM.AB = IB.BC\;\;(1)\)\(\)

Lại có: \(CA.CN = CI.CB\) (chứng minh câu b) \( \Leftrightarrow CA.CN = CI.BC\;\;(2)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(S = CA.CN + BM.BA = CI.BC + IB.BC = \left( {CI + IB} \right).BC = CB.BC = B{C^2}\)

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông \(ABC:\)

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Leftrightarrow {20^2} + {15^2} = B{C^2} \Leftrightarrow B{C^2} = 625\)

\( \Rightarrow S = B{C^2} = 625c{m^2}\).

Vậy \(S = 625c{m^2}.\)