Cho phương trình \({x^2}--5x + 3m + 1 = 0\) (m...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện của delta

- Áp dụng định lí Vi-et. Thay vào biểu thức \(|x_1^2 - x_2^2| = 15\) để tìm m.

Giải chi tiết:

Ta có: \({x^2} - 5x + 3m + 1 = 0\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ \( \Leftrightarrow \Delta  = {5^2}--4\left( {3m{\rm{ }} + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow 21--12m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{{21}}{{12}}\)

Với \(m < \frac{{21}}{{12}}\), áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}{x_2} = 3m + 1\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}}  = \sqrt {{5^2} - 4\left( {3m + 1} \right)}  = \sqrt {21 - 12m} \\ \Rightarrow \left| {x_1^2 - x_2^2} \right| = \left| {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_2}} \right)} \right| = \left| {5\left( {{x_1} - {x_2}} \right)} \right| = 5\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 5\sqrt {21 - 12m} \end{array}\)

Ta có \(\left| {x_1^2 - x_2^2} \right| = 15 \Leftrightarrow 5\sqrt {21 - 12m}  = 15 \Leftrightarrow \sqrt {21 - 12m}  = 3 \Leftrightarrow 21 - 12m = 9 \Leftrightarrow 12m = 12 \Leftrightarrow m = 1\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy \(m = 1\) là giá trị cần tìm.