Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC, I là trung điểm của AB

\( \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right)\,\, \Rightarrow \left( {SA;\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SAO} = 60^\circ \)

\(\Delta ABC\) đều, cạnh a  \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OA = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\\{S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\end{array} \right.\)

\(\Delta SAO\) vuông tại O  \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SO = OA.\tan 60^\circ  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\sqrt 3  = a\\SA = \dfrac{{OA}}{{\cos 60^\circ }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}}}{{\dfrac{1}{2}}} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\)

Thể tích khối chóp S.ABC là:  \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.SO.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

\(\Delta SAB\) cân tại S \( \Rightarrow SI \bot AB\); \(\left( {BCD} \right) \bot SA\,\, \Rightarrow BD \bot SA\)

\(\Delta SAI\) đồng dạng \(\Delta BAD\)

\( \Rightarrow \dfrac{{SA}}{{AB}} = \dfrac{{AI}}{{AD}} \Leftrightarrow \dfrac{{\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}}}{a} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{AD}} \Rightarrow AD = \dfrac{{\dfrac{a}{2}.a}}{{\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{SA}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}}} = \dfrac{3}{8} \Rightarrow \dfrac{{SD}}{{SA}} = \dfrac{5}{8}\)

Ta có:  \(\dfrac{{{V_{S.DBC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SD}}{{SA}} = \dfrac{5}{8} \Rightarrow {V_{S.DBC}} = \dfrac{5}{8}.{V_{S.ABC}} = \dfrac{5}{8}.\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}} = \dfrac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{{96}}\).

Chọn: C