Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC, tìm m, n để bán kính đó là nhỏ nhất.

Giải chi tiết:

\(\left( P \right):mx + ny + mnz - mn = 0 \Leftrightarrow \dfrac{x}{n} + \dfrac{y}{m} + \dfrac{z}{1} = 1,\,\,\left( {m,n > 0} \right)\)

\(\left( P \right)\)cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại \(A\left( {n;0;0} \right),\,B\left( {0;m;0} \right),\,C\left( {0;0;1} \right)\)

Dựng khối hộp chữ nhật OADB.CA’DB’ (như hình vẽ)

\( \Rightarrow D\left( {m;n;1} \right)\); bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là: \(R = \dfrac{{OD}}{2} = \dfrac{{\sqrt {{m^2} + {n^2} + 1} }}{2}\)

Mà \(m + 2n = 1,\,\,m,n > 0\, \Rightarrow m = 1 - 2n,\,\,n \in \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)\)

Ta có:

\(R = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {1 - 2n} \right)}^2} + {n^2} + 1} }}{2} = \dfrac{{\sqrt {5{n^2} - 4n + 2} }}{2} = \dfrac{{\sqrt {5{{\left( {n - \dfrac{2}{5}} \right)}^2} + \dfrac{6}{5}} }}{2} \ge \dfrac{{\sqrt {30} }}{{10}}\)

\( \Rightarrow {R_{\min }} = \dfrac{{\sqrt {30} }}{{10}}\) khi và chỉ khi \(n = \dfrac{2}{5} \in \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)\)

\(Khi\,\,n = \dfrac{2}{5} \Rightarrow m = 1 - 2n = 1 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{5} \Rightarrow 2m + n = 2.\dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{5}\).

Chọn: B