Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biện luận theo m giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {\dfrac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}} \right|\) thông qua hàm số \(y = \dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}}\), \(y = \left| {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}}} \right|\)

Giải chi tiết:

Ta có: \(y = \left| {\dfrac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}} \right| = \left| {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} + m} \right|\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}},\,\,D = \mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ { - 1} \right\}\), có\(f'\left( x \right) = \dfrac{{2x\left( {x + 1} \right) - {x^2}}}{{x + 1}} = \dfrac{{{x^2} + 2x}}{{x + 1}},\,\,f'\left( x \right){\rm{ = }}0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2\end{array} \right.\)

Lập bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}}\):

Ta có \(f'\left( x \right) = \dfrac{{2x\left( {x + 1} \right) - {x^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 0\end{array} \right.\)

Từ bảng trên, ta có BBT của hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} + m\) như sau:

\(g\left( 1 \right) = \dfrac{1}{2} + m,\,\,g\left( 2 \right) = \dfrac{4}{3} + m\)

+) Nếu \(\dfrac{1}{2} + m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - \dfrac{1}{2}\) thì  \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {g\left( x \right)} \right| = g\left( 2 \right) = \dfrac{4}{3} + m \Rightarrow \dfrac{4}{3} + m = 2 \Leftrightarrow m = \dfrac{2}{3}\) (thỏa mãn)

+) Nếu \(\dfrac{4}{3} + m \le 0 \Leftrightarrow m \le  - \dfrac{4}{3}\) thì  \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {g\left( x \right)} \right| =  - g\left( 1 \right) =  - \dfrac{1}{2} - m \Rightarrow  - \dfrac{1}{2} - m = 2 \Leftrightarrow m =  - \dfrac{5}{2}\) (thỏa mãn)

+) Nếu \( - \dfrac{4}{3} < m <  - \dfrac{1}{2}\) thì  \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {g\left( x \right)} \right| = \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left\{ {g\left( 2 \right); - g\left( 1 \right)} \right\}\): không có giá trị của m thỏa mãn

Vậy, \(S = \left\{ {\dfrac{2}{3}; - \dfrac{5}{2}} \right\}\): có 2 phần tử.

Chọn: D