Cho hình chóp \(S.ABC\) có SA vuông góc v...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right),\,\,\left( \beta  \right)\):

- Tìm giao tuyến \(\Delta \) của \(\left( \alpha  \right),\,\,\left( \beta  \right)\).

- Xác định 1 mặt phẳng \(\left( \gamma  \right) \bot \Delta \).

- Tìm các giao tuyến \(a = \left( \alpha  \right) \cap \left( \gamma  \right),b = \left( \beta  \right) \cap \left( \gamma  \right)\)

- Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right),\,\,\left( \beta  \right)\): \(\left( {\widehat {\left( \alpha  \right);\left( \beta  \right)}} \right) = \left( {\widehat {a;b}} \right)\).

Giải chi tiết:

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC,\,\,D\)là điểm đối xứng của A qua O

Ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BD\\SA \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BD \bot AM\).

Mà \(AM \bot SB\,\,\, \Rightarrow AM \bot \left( {SBD} \right)\,\, \Rightarrow AM \bot SD\)

Tương tự: \(AN \bot SD\)

Vậy \(SD \bot \left( {AMN} \right)\), mà \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {\left( {AMN} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SA;AD} \right) = \widehat {A\,SD}\) vì \(\Delta SAD\) vuông tại A. Ta có: \(\tan \widehat {ASD} = \dfrac{{AD}}{{SA}}\)

Mà \(AD\) là đường kính của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) nên \(AD = \dfrac{{BC}}{{\sin 120^\circ }} = \dfrac{{2BC}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{SA}}{{\sqrt 3 }}\)

Vậy, \(\tan \widehat {ASD} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {ASD} = 30^\circ \).

Chọn: D