Cho \(\left( S \right)\) là một mặt cầu cố định có...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Giả sử bán kính mặt cầu là R, bán kính đường tròn đáy của khối trụ là r.

+) Biểu diễn đường cao h của hình trụ theo R và r.

+) Sử dụng công thức tính thể tích khối trụ \(V = \pi {r^2}h\) và công thức tính thể tích khối cầu \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\).

Giải chi tiết:

Giả sử bán kính mặt cầu là R, bán kính đường tròn đáy của khối trụ là r.

Khi đó, đường cao của khối trụ là

\(h = OO' = 2.OI = 2.\sqrt {I{A^2} - O{A^2}}  = 2\sqrt {{R^2} - {r^2}} \)

Thể tích khối cầu là: \({V_1} = \frac{4}{3}\pi {R^3}\)

Thể tích khối trụ là: \({V_{tru}} = \pi {r^2}h = \pi {r^2}.2\sqrt {{R^2} - {r^2}}  = 2\pi {r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} \)

Ta có: \(\frac{1}{4}{r^4}\left( {{R^2} - {r^2}} \right) = \frac{{{r^2}}}{2}.\frac{{{r^2}}}{2}.\left( {{R^2} - {r^2}} \right) \le {\left( {\frac{{\frac{{{r^2}}}{2} + \frac{{{r^2}}}{2} + \left( {{R^2} - {r^2}} \right)}}{3}} \right)^3} = {\left( {\frac{{{R^2}}}{3}} \right)^3} \Rightarrow {r^4}\left( {{R^2} - {r^2}} \right) \le \frac{{4{R^6}}}{{27}}\)

\( \Rightarrow {r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} \, \le \frac{{2{R^3}}}{{3\sqrt 3 }} \Rightarrow 2\pi {r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} \, \le \frac{{4\pi {R^3}}}{{3\sqrt 3 }}\)

\( \Rightarrow {V_2} = \max \left( {{V_{tru}}} \right) = \frac{{4\pi {R^3}}}{{3\sqrt 3 }}\) khi và chỉ khi \(\frac{{{r^2}}}{2} = {R^2} - {r^2} \Leftrightarrow \frac{3}{2}{r^2} = {R^2} \Leftrightarrow r = \sqrt {\frac{2}{3}} R\).

Khi đó \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\frac{4}{3}\pi {R^3}}}{{\frac{4}{{3\sqrt 3 }}\pi {R^3}}} = \sqrt 3 \).

Chọn: C