Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạn...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tính thể tích của khối chóp S.ABCM là \({V_{S.ABCM}} = {1 \over 3}SA.{S_{ABCM}}.\)

Biểu diễn V theo a và x, đặt V = f(x), tìm GTLN của f(x) trên (0; a).

Giải chi tiết:

\(\eqalign{  & {S_{ABCM}} = {S_{ABCD}} - {S_{MCD}} = {a^2} - {1 \over 2}a(a - x) = {{{a^2}} \over 2} + {{ax} \over 2}  \cr   &  \Rightarrow {V_{S.ABCM}} = {1 \over 3}y\left( {{{{a^2}} \over 2} + {{ax} \over 2}} \right). \cr} \)

Ta có: \({x^2} + {y^2} = {a^2} \Rightarrow y = \sqrt {{a^2} - {x^2}} .\)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow {1 \over 3}y\left( {{{{a^2}} \over 2} + {{ax} \over 2}} \right) = {1 \over 6}a\sqrt {{a^2} - {x^2}} \left( {a + x} \right)  \cr   & f(x) = {1 \over 6}a\sqrt {{a^2} - {x^2}} \left( {a + x} \right);\,\,x \in \left( {0;a} \right)  \cr   & f'(x) = {1 \over 6}.a.\left[ {{{ - x\left( {a + x} \right)} \over {\sqrt {{a^2} - {x^2}} }} + \sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right] = {1 \over 6}.a\left[ {{{ - x\left( {a + x} \right) + {a^2} - {x^2}} \over {\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} \right] = {1 \over 6}a{{ - 2{x^2} - ax + {a^2}} \over {\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}  \cr   & f'(x) = 0 \Leftrightarrow  - 2{x^2} - ax + {a^2} = 0 \Rightarrow \left[ \matrix{  x =  - a\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr   x = {a \over 2}\,\,\,\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr}  \right. \cr} \)

Lập bảng biến thiên ta được:

Dựa vào BBT ta thấy \(\mathop {max}\limits_{\left( {0;a} \right)} f\left( x \right) = f\left( {{a \over 2}} \right) = {{{a^3}\sqrt 3 } \over 8}.\)

Chọn D.