Giả sử hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục,...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Từ điều kiện $f\left( x \right) = f'\left( x \right)\sqrt {3x + 1}$ rút ra $\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}$ và lấy nguyên hàm hai vế, kết hợp với $f\left( 1 \right) = 1$ tìm $f\left( x \right)$.

- Tính $f\left( 5 \right)$ và kết luận.

Giải chi tiết:

Ta có: $f\left( x \right) = f'\left( x \right)\sqrt {3x + 1}  \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}$

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

$\int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}dx}  = \int {\dfrac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}dx}  \Rightarrow \int {\dfrac{{d\left( {f\left( x \right)} \right)}}{{f\left( x \right)}}}  = \int {{{\left( {3x + 1} \right)}^{ - \dfrac{1}{2}}}dx}$

$\Rightarrow \ln f\left( x \right) = \dfrac{2}{3}\sqrt {3x + 1}  + C\,\,\left( {Do\,\,f\left( x \right) > 0\,\,\forall x > 0} \right) \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{\dfrac{2}{3}\sqrt {3x + 1}  + C}}$

Do $f\left( 1 \right) = 1$ nên ${e^{\dfrac{2}{3}\sqrt {3.1 + 1}  + C}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{4}{3} + C = 0 \Leftrightarrow C =  - \dfrac{4}{3}$ hay $f\left( x \right) = {e^{\dfrac{2}{3}\sqrt {3x + 1}  - \dfrac{4}{3}}}$

Do đó $f\left( 5 \right) = {e^{\dfrac{2}{3}\sqrt {3.5 + 1}  - \dfrac{4}{3}}} = {e^{\dfrac{4}{3}}} \approx 3,79$.

Vậy $3 < f\left( 5 \right) < 4$.

Chọn D.