Tập hợp các giá trị của tham số \(m\) để phương tr...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Cô lập \(m\), đưa phương trình về dạng \(f\left( x \right) = m\).

+) Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m\) song song với trục hoành.

+) Lập BBT của hàm số \(y = f\left( x \right)\) và kết luận.

Giải chi tiết:

Ta có \({6^x} + \left( {3 - m} \right){2^x} - m = 0 \Leftrightarrow {6^x} + {3.2^x} = m\left( {{2^x} + 1} \right)\)

Do \({2^x} + 1 > 0\,\,\forall x \in R \Rightarrow m = \frac{{{6^x} + {{3.2}^x}}}{{{2^x} + 1}} = f\left( x \right)\).

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{6^x} + {{3.2}^x}}}{{{2^x} + 1}}\) và đường thẳng \(y = m\) song song với trục hoành.

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{6^x} + {{3.2}^x}}}{{{2^x} + 1}}\) trên \(\left( {0;1} \right)\) ta có :

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \frac{{\left( {{6^x}\ln 6 + {{3.2}^x}\ln 2} \right)\left( {{2^x} + 1} \right) - \left( {{6^x} + {{3.2}^x}} \right){2^x}\ln 2}}{{{{\left( {{2^x} + 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{{12}^x}\ln 6 + {{3.4}^x}\ln 2 + {6^x}\ln 6 + {{3.2}^x}\ln 2 - {{12}^x}\ln 2 - {{3.4}^x}\ln 2}}{{{{\left( {{2^x} + 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{{12}^x}\left( {\ln 6 - \ln 2} \right) + {6^x}\ln 6 + {{3.2}^x}\ln 2}}{{{{\left( {{2^x} + 1} \right)}^2}}} > 0\,\,\left( {Do\,\,\ln 6 > \ln 2 > 0} \right)\end{array}\)

Do đó hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{6^x} + {{3.2}^x}}}{{{2^x} + 1}}\) đồng biến trên \(\left( {0;1} \right)\), từ đó ta lập được BBT của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{6^x} + {{3.2}^x}}}{{{2^x} + 1}}\) như sau:

Dựa vào BBT ta thầy phương trình \(\frac{{{6^x} + {{3.2}^x}}}{{{2^x} + 1}} = m\) có nghiệm thuộc \(\left( {0;1} \right) \Leftrightarrow m \in \left( {2;4} \right)\).

Chọn B.