Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Đặt \(t = {3^x} > 0\) đưa phương trình về ẩn \(t\).

- Đưa điều kiện bài cho về điều kiện tương đương đối với phương trình ẩn \(t\).

- Từ đó tìm \(m\) và kết luận.

Giải chi tiết:

Đặt \(t = {3^x} > 0\) ta được: \(\left( {m + 3} \right){t^2} + \left( {2m - 1} \right)t + m + 1 = 0\,\,\left( 1 \right)\).

Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu (giả sử \({x_1} < 0 < {x_2}\)) \( \Leftrightarrow \) \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm dương phân biệt thỏa mãn \(0 < {t_1} = {3^{{x_1}}} < 1 < {3^{{x_2}}} = {t_2}\), nghĩa là \(0 < {t_1} < 1 < {t_2}\)

Áp dụng định lý Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} =  - \frac{{2m - 1}}{{m + 3}}\\{t_1}{t_2} = \frac{{m + 1}}{{m + 3}}\end{array} \right..\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + 3 \ne 0}\\{\Delta  = {{\left( {2m - 1} \right)}^2} - 4\left( {m + 3} \right)\left( {m + 1} \right) > 0}\\{\left( {{t_1} - 1} \right)\left( {{t_2} - 1} \right) < 0}\\{{t_1}{t_2} > 0}\\{{t_1} + {t_2} > 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ne  - 3}\\{ - 20m - 11 > 0}\\{{t_1}{t_2} - \left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 1 < 0}\\{{t_1}{t_2} > 0}\\{{t_1} + {t_2} > 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ne  - 3}\\{m <  - \dfrac{{11}}{{20}}}\\{\dfrac{{m + 1}}{{m + 3}} + \dfrac{{2m - 1}}{{m + 3}} + 1 < 0}\\{\dfrac{{m + 1}}{{m + 3}} > 0}\\{ - \dfrac{{2m - 1}}{{m + 3}} > 0}\end{array}} \right.\)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 3\\m <  - \dfrac{{11}}{{20}}\\\dfrac{{4m + 3}}{{m + 3}} < 0\\\dfrac{{m + 1}}{{m + 3}} > 0\\ - \dfrac{{2m - 1}}{{m + 3}} > 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 3\\m <  - \dfrac{{11}}{{20}}\\ - 3 < m <  - \dfrac{3}{4}\\\left[ \begin{array}{l}m <  - 3\\m >  - 1\end{array} \right.\\ - 3 < m < \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow  - 1 < m <  - \dfrac{3}{4}\)

Chọn C.