Phương trình \({\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin x\cos x =...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Ta sử dụng các công thức : \({\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2};\,\,\sin 2x = 2\sin x\cos x;\,\,\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\,\sin b.\)

Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc nhất giữa sin và cos \(A\cos X + B\sin X = C\,\left( {{A^2} + {B^2} \ge C} \right)\) , chia cả hai vế cho \(\sqrt {{A^2} + {B^2}} \) để ta đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản.

Giải chi tiết:

Ta có : \({\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin x\cos x = 1 \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 2x}}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x - \frac{1}{2}\cos 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 2x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{3}.\cos 2x - \sin \frac{\pi }{3}\sin 2x = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{3} =  - \frac{\pi }{3} + m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x =  - \frac{\pi }{3} + m\pi \end{array} \right.\left( {k,\,m \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vì \(x \in \left[ {0;2\pi } \right]\) nên ta có

+ \(0 \le k\pi  \le 2\pi  \Leftrightarrow 0 \le k \le 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 0 \Rightarrow x = 0\\k = 1 \Rightarrow x = \pi \\k = 2 \Rightarrow x = 2\pi \end{array} \right.\) 

+ \(0 \le  - \frac{\pi }{3} + m2\pi  \le 2\pi  \Leftrightarrow \frac{1}{6} \le m \le \frac{7}{6} \Leftrightarrow m = 1 \Rightarrow x = \frac{{2\pi }}{3}.\)

Vậy có bốn nghiệm thuộc \(\left[ {0;2\pi } \right]\)

Chọn  D.