Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy là hình thoi tâm \(O\...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi \(M\) là trung điểm của \(SC\). Chứng minh \(\angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {SCD} \right)} \right) = \angle \left( {BM;DM} \right)\).

+) Tính các cạnh \(BM,\,\,DM,\,\,BD\) và sử dụng định lí cosin trong tam giác \(BDM\).

Giải chi tiết:

Gọi \(M\) là trung điểm của \(SC\).

Tam giác \(SBC\) cân tại \(B \Rightarrow BM \bot SC\).

Xét tam giác \(SBD\) có \(SO\) là trung tuyến đồng thời là đường cao \( \Rightarrow \Delta SBC\) cân tại \(S \Rightarrow SB = SD = a\).

\(\Delta SCD\) có \(SD = CD = a \Rightarrow \Delta SCD\) cân tại \(D \Rightarrow DM \bot SC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SC\\\left( {SBC} \right) \supset BM \bot SC\\\left( {SCD} \right) \supset DM \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {SCD} \right)} \right) = \angle \left( {BM;DM} \right)\).

Xét chóp \(B.SAC\) ta có \(BC = BS = BA = a \Rightarrow \) Hình chiếu của \(B\) lên  \(\left( {SAC} \right)\) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta SAC\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BO \bot AC\,\,\left( {gt} \right)\\BO \bot SO\,\,\left( {SO \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BO \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta SAC\).

\( \Rightarrow \Delta SAC\) vuông cân tại \(S \Rightarrow AC = 2SO = \dfrac{{2a\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow SA = SC = \dfrac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

Xét tam giác vuông \(OAB\) có \(OB = \sqrt {A{B^2} - O{A^2}}  = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{2{a^2}}}{3}}  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)\( \Rightarrow BD = 2OB = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

Xét tam giác vuông \(BCM:\,\,BM = \sqrt {B{C^2} - M{C^2}}  = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} = DM\).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(BDM\) ta có:

\(\cos \angle BMD = \dfrac{{B{M^2} + D{M^2} - B{D^2}}}{{2BM.DM}} = \dfrac{{\dfrac{{2{a^2}}}{3} + \dfrac{{2{a^2}}}{3} - \dfrac{{4{a^2}}}{3}}}{{2.\dfrac{{2{a^2}}}{3}}} = 0 \Rightarrow \angle BMD = {90^0}\).

Vậy \(\angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {SCD} \right)} \right) = {90^0}\).

Chọn A.