Cho số thức \(\alpha \) sao cho phương trình \({2^...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức nhân đôi: \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1.\)

+) Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có \(n\) nghiệm \(x\) thì phương trình \(f\left( t \right) = 0\) cũng có \(n\) nghiệm \(t.\)

Giải chi tiết:

Ta có: \({2^x} + {2^{ - x}} = 4 + 2\cos \left( {\alpha x} \right) \Leftrightarrow {\left( {{2^{\frac{x}{2}}} - {2^{ - \frac{x}{2}}}} \right)^2} = 4{\cos ^2}\frac{{\alpha x}}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^{\frac{x}{2}}} - {2^{ - \frac{x}{2}}} = 2\cos \frac{{\alpha x}}{2}\,\,\left( 1 \right)\\{2^{\frac{x}{2}}} - {2^{ - \frac{x}{2}}} =  - 2\cos \frac{{\alpha x}}{2}\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Thay \(x = 0\) vào phương trình (1) ta có \({2^0} - {2^0} = 2\cos 0 \Leftrightarrow 0 = 1\) (Vô lí), kết hợp với giả thiết ta có phương trình (1) có 2019 nghiệm thực khác 0.

Với\({x_0}\) là nghiệm của phương trình (1) \( \Leftrightarrow {2^{\frac{{{x_0}}}{2}}} - {2^{ - \frac{{{x_0}}}{2}}} = 2\cos \frac{{\alpha {x_0}}}{2} \Leftrightarrow {2^{\frac{{\left( { - {x_0}} \right)}}{2}}} - {2^{\frac{{ - \left( { - {x_0}} \right)}}{2}}} =  - 2\cos \frac{{\alpha \left( { - {x_0}} \right)}}{2} \Rightarrow  - {x_0}\) là nghiệm của phương trình (2).

Thay \(x =  - {x_0}\) vào phương trình (1) ta có:

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {2^{ - \frac{{{x_0}}}{2}}} - {2^{\frac{{{x_0}}}{2}}} = 2\cos \frac{{\alpha \left( { - {x_0}} \right)}}{2} = 2\cos \frac{{\alpha {x_0}}}{2} = {2^{\frac{{{x_0}}}{2}}} - {2^{\frac{{ - {x_0}}}{2}}}\\ \Leftrightarrow {2.2^{\frac{{{x_0}}}{2}}} = {2.2^{\frac{{ - {x_0}}}{2}}} \Leftrightarrow {2^{\frac{{{x_0}}}{2} + 1}} = {2^{\frac{{ - {x_0}}}{2} + 1}} \Leftrightarrow \frac{{{x_0}}}{2} + 1 =  - \frac{{{x_0}}}{2} + 1 \Leftrightarrow {x_0} = 0\,\,\left( {vo\,\,li\,\,do\,\,{x_0} \ne 0} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow  - {x_0}\) không là nghiệm của phương trình (1), điều đó đảm bảo mọi nghiệm của phương trình (2) không trùng với nghiệm của phương trình (1).

Do đó phương trình (2) cũng có 2019 nghiệm.

Vậy phương trình ban đầu có 2019.2 = 4038 nghiệm

Chọn D.