Cho tam giác ABC vuông tại A \(\left( AB<AC \ri...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a)     Chứng minh tứ giác AHEC có hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau.

b)     Chứng minh hai tam giác ADC và HDE đồng dạng.

c)     Chứng minh \(\angle CHE=\angle HCE\Rightarrow \Delta HCE\) cân tại \(E.\)

Giải chi tiết:

a)     Chứng minh tứ giác AHEC là tứ giác nội tiếp.

Ta có \(\angle AHC=\angle AEC={{90}^{0}}\,\,\left( gt \right)\Rightarrow \) Tứ giác AHEC là tứ giác nội tiếp (Hai đỉnh H và E kề cạnh HE  cùng nhìn cạnh AC dưới góc \({{90}^{0}}\))

b)     Chứng minh \(DA.HE=DH.AC\)

\(\Rightarrow \angle ACH=\angle AEH\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AH)

Xét \(\Delta ADC\) và \(\Delta HDE\) có:

\(\angle ADC=\angle HDE\) (đối đỉnh);

\(\begin{align}  & \angle ACH=\angle AEH\,\,\left( cmt \right) \\ & \Rightarrow \Delta ADC\sim \Delta HDE\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{DA}{DH}=\frac{AC}{HE}\Rightarrow DA.HE=DH.AC\ \ \left( dpcm \right) \\\end{align}\)

c)     Chứng minh tam giác \(EHC\) là tam giác cân.

Cách 1:

Ta có: \(AB=BD\ \ \left( gt \right)\Rightarrow \Delta ABD\) cân tại \(B\Rightarrow \angle BAD=\angle ADB\) (hai góc kề đáy).

Mà \(\angle BAC={{90}^{0}}\Rightarrow \angle BAD+\angle DAC={{90}^{0}}\Leftrightarrow \angle ADB+\angle DAC={{90}^{0}}\ \ \left( 1 \right)\)

Xét  \(\Delta AHD\) vuông tại \(H\) ta có:

\(\angle HDA+\angle HAD={{90}^{0}}\Leftrightarrow \angle BDA+\angle HAD={{90}^{0}}\ \ \ \left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\Rightarrow \angle HAD=\angle DAC\ \ hay\ \ \angle HAE=\angle EAC\ \ \ \left( 3 \right)\)

Xét tứ giác \(AHEC\) nội tiếp ta có:

\(\angle EAC=\angle EHC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC)    (4)

\(\angle HAE=\angle HCE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE)     (5)

Từ \(\left( 4 \right)\) và \(\left( 5 \right)\Rightarrow \angle CHE=\angle HCE\ \ \left( =\angle HAE=\angle EAC \right).\)

\(\Rightarrow \Delta HEC\) cân tại \(E\ \ \left( dpcm \right).\)

.Cách 2:

Do \(AB\bot AC\Rightarrow AB\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AC

\(\Rightarrow \angle BAE=\angle ACE\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AE)

Gọi F là trung điểm của AD, do tam giác ABD cân tại B \(\left( BA=BD \right)\)

\(\Rightarrow BF\bot AD\) (trung tuyến đồng thời là đường cao)

Và \(\angle ABF=\angle DBF\,\,\left( 1 \right)\) (trung tuyến đồng thời là đường phân giác).

Xét tam giác ABF và tam giác CAE có:

\(\begin{align}  & \angle AFB=\angle CEA={{90}^{0}}; \\ & \angle BAF=\angle ACE\,\,\left( cmt \right) \\ & \Rightarrow \Delta ABF\sim \Delta CAE\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \angle ABF=\angle CAE \\\end{align}\)

Lại có: \(\angle CAE=\angle CHE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC) \(\Rightarrow \angle ABF=\angle CHE\,\,\left( 2 \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{align}  & BF\bot AE\,\,\left( cmt \right) \\ & CE\bot AE\,\,\left( gt \right) \\\end{align} \right.\Rightarrow BF//CE\Rightarrow \angle DBF=\angle HCE\,\,\,\left( 3 \right)\) (so le trong) 

Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow \angle CHE=\angle HCE\Rightarrow \Delta EHC\) cân tại E (đpcm).