1) Đặt: \(N = {a_1} + {a_2} + ... + {a_{2018}},\,\...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Ta xét hiệu M – N, từ đó phân tích từng: \({a^5} - a\) thành nhân tử để chứng minh M – N cũng chia hết cho 30.

2) Ta sẽ phân tích biểu thức đã cho thành nhân tử, sau đó sử dụng giả thiết đây là số nguyên tố để chứng minh có 1 thừa số phải bằng 1.

Giải chi tiết:

1) Đặt: \(N = {a_1} + {a_2} + ... + {a_{2018}},M = a_1^5 + a_2^5 + ... + a_{2018}^5({a_1},{a_2},...,{a_{2018}} \in {Z^ + }).\) Chứng minh rằng nếu N chia hết cho 30 thì M cũng chia hết cho 30.

Ta có: \(N = {a_1} + {a_2} + ... + {a_{2018}},\,\,\,M = a_1^5 + a_2^5 + ... + a_{2018}^5\,\,\,\,\,\left( {{a_1},\,\,{a_2},...,{a_{2018}} \in {Z^ + }} \right)\)

Xét hiệu:

\(\begin{array}{l}M - N = a_1^5 + a_2^5 + ..... + a_{2018}^5 - {a_1} - {a_2} - .... - {a_{2018}}\\ = \left( {a_1^5 - {a_1}} \right) + \left( {a_2^5 - {a_2}} \right) + ...... + \left( {a_{2018}^5 - {a_{2018}}} \right)\end{array}\)

Ta có: \({a^5} - a = a\left( {{a^4} - 1} \right) = a\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{a^2} - 1} \right) = a\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right).\)

\(30 = 2.3.5\) với \(2,\,\,3,\,\,5\) đều là các số nguyên tố.

Ta có: \(a({a^2} + 1)(a - 1)(a + 1)\) có tích của 3 số tự nhiên liên tiếp là \(a - 1,\,\,a,\,\,a + 1\,\) nên  \(a\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)\) sẽ chia hết cho 2 và 3.

Nếu \(a\)  chia cho \(5\) dư  \(0,\,\,1\)  hoặc \(4\)  thì lần lượt  \(a,\,\,a - 1,\,\,a + 1\) sẽ chia hết cho \(5.\)

Nếu \(a\)  chia \(5\)  dư \(2\) hoặc \(3\)  thì \(a + 1\)  sẽ chia hết cho \(5.\)

Vậy \(a({a^2} + 1)(a - 1)(a + 1)\) sẽ chia hết cho cả \(2,\,3,\,5\) nên sẽ chia hết cho \(30.\)

Do vậy \(M - N\)  chia hết cho \(30\) do đó \(M\) cũng chia hết cho \(30.\)

Ta có điều phải chứng minh.

2) Tìm tất cả số tự nhiên n, k để: \({n^8} + {4^{2k + 1}}.\) là số nguyên tố.

Ta có:

\(\begin{array}{l}{n^8} + {4^{2k + 1}} = {n^8} + {\left( {{2^{2k + 1}}} \right)^2} = {\left( {{n^2}} \right)^4} + {2.2^{k + 1}}.{n^2} + {\left( {{2^{2k + 1}}} \right)^2} - {\left( {{2^{k + 1}}.n} \right)^2}\\ = {\left( {{n^2} + {2^{2k + 1}}} \right)^2} - {\left( {{2^{k + 1}}.n} \right)^2}\\ = \left( {{n^2} + {2^{2k + 1}} - {2^{k + 1}}.n} \right)\left( {{n^2} + {2^{2k + 1}} + {2^{k + 1}}.n} \right)\end{array}\)

Do \(n,\,\,k\)  là các số tự nhiên và \({n^8} + {4^{2k + 1}}\)  là 1 số nguyên tố nên:

\(\begin{array}{l}{n^8} + {4^{2k + 1}} = \left( {{n^2} + {2^{2k + 1}} - {2^{k + 1}}.n} \right)\left( {{n^2} + {2^{2k + 1}} + {2^{k + 1}}.n} \right)\\ \Rightarrow {n^2} + {2^{2k + 1}} - {2^{k + 1}}.n = 1\\ \Leftrightarrow {n^2} - {2.2^k}.n + 2{\left( {{2^k}} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow {\left( {n - {2^k}} \right)^2} + {\left( {{2^k}} \right)^2} = 1\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}n - {2^k} = 0\\{2^k} = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 0\\n = 1\end{array} \right. \Rightarrow {n^8} + {4^{2k + 1}} = 1 + 2 + 2 = 5.\\\left\{ \begin{array}{l}n - {2^k} = 1\\{2^k} = 0\end{array} \right.\,\,\left( {VN} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}n - {2^k} =  - 1\\{2^k} = 0\end{array} \right.\,\,\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(n = 1,\,\,k = 0\) là các giá trị cần tìm.

Chọn A.