Từ A ngoài (O), vẽ tiếp tuyến AB, AC, H là giao OA...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh đây là tứ giác có 2 góc đối diện vuông.

b) Sử dụng 2 cặp tam giác đồng dạng và AB = AC để suy ra hệ thức.

c) Sử dụng tính chất hình thang nội tiếp đường tròn là hình thang cân.

Giải chi tiết:

a) Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp và OA vuông BC.

Do AB, AC là tiếp tuyến từ A đến (O) nên: \(\angle ABO = \angle ACO = {90^0}\)

Xét tứ giác \(OBAC\) ta có:

\(\angle ABO + \angle ACO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow OBAC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

Ta có: \(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại \(A.\) (định nghĩa)

Lại có: \(AO\) là phân giác của \(\angle BAC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow AO\) vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của \(\Delta ABC \Rightarrow AO \bot BC = \left\{ H \right\}.\,\,\,\left( {dpcm} \right)\)

b) Qua C vẽ d // OA, qua O vẽ đường vuông góc OB cắt (O) và d tại F và K (O nằm giữa F và K), AF cắt (O) tại E. Chứng minh rằng: \(A{B^2} = AE.FA;BE.FC = BF.EC.\)

Ta có: \(\angle ABE = \angle BFA\,\,\left( { = \frac{1}{2}sd\,\,cung\,\,BE} \right)\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung \(BE\)).

\( \Rightarrow \Delta AEB \sim \Delta ABF(g - g) \Rightarrow \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{AF}} \Leftrightarrow FA.EA = A{B^2}\,\,\,\left( {dpcm} \right)\) 

Vì \(\Delta AEB \sim \Delta ABF\,\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \frac{{BE}}{{BF}} = \frac{{AB}}{{AF}}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Ta có: \(\angle ACE = \angle AFC\,\,\left( { = \frac{1}{2}sd\,\,cung\,\,EC} \right)\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung EC)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ACE \sim \Delta AFC\,\,(g - g) \Rightarrow \frac{{EC}}{{FC}} = \frac{{AC}}{{FA}} = \frac{{AB}}{{FA}}\\ \Rightarrow \frac{{BE}}{{BF}} = \frac{{EC}}{{FC}}\,\,\left( { = \frac{{AB}}{{AF}}} \right) \Rightarrow BE.FC = BF.EC\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

c) Chứng minh OCKA là hình thang cân.

Ta có: \(CK//OA\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow ACKA\) là hình thang (định nghĩa).

Lại có:  \(\angle OKC = \angle AOK\,\,\,(so\,\,le\,\,trong)\)

Vì \(AB \bot OB\,\,\left( {cm\,\,a} \right),\,\,OF \bot OB\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow KF//AB\) (từ vuông góc đến song song)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle BAO\,\, = \angle AOK\,\,\,\left( {so\,\,le\,\,trong} \right)\\ \Rightarrow \angle OKC = \angle BAO\,\,\left( { = \angle AOK} \right)\end{array}\)

Mặt khác \(\angle BAO = \angle OAC\)  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \angle OKC = \angle OAC\,\,\left( { = \angle BAO} \right)\)

\( \Rightarrow AKCO\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

Hình thang nội tiếp tứ giác là hình thang cân \( \Rightarrow AKCO\) là hình thang cân. (đpcm)